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OEF Probabilité en Première S
OEF Probabilité en Première S
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 36 exercices de probabilité sur
la construction d'un espace de probabilité,
les opérations sur les événements, l'équiprobabilité,
la notion de variable aléatoire, d'espérance mathématique et d'écart-type.
Cas de l'équiprobabilité 1
On compose au
un nombre de chiffres avec uniquement des et des .
Quelle est la probabilité des événements suivants ?
A « le nombre commence par un » : P(A) =
B « le nombre se termine par un » : P(B) =
C « le nombre ne contient que des » : P(C) =
D « les chiffres et alternent » : P(D) =
E « le nombre est supérieur à » : P(E) =
Cas de l'équiprobabilité 2
On lance deux dés cubiques équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité des événements suivants ?
A « Obtenir exactement un » : P(A) =
B « Obtenir au moins un » : P(B) =
C « Obtenir au plus un » : P(C) =
D « Obtenir des nombres » : P(D) =
E « Obtenir une somme supérieure strictement à » : P(E) =
F « Obtenir une somme égale à » : P(F) =
Cas de l'équiprobabilité 3
vont au spectacle et laissent leur chapeau au vestiaire. A la fin du spectacle, chacune reprend un des chapeaux au hasard.
Quelle est la probabilité des événements suivants ?
A « Chacune retrouve son chapeau » : P(A) =
B « Une seule personne retrouve son chapeau » : P(B) =
C « Aucune ne retrouve son chapeau » : P(C) =
D « Seule Chloé retrouve son chapeau » : P(D) =
Cas de l'équiprobabilité 4
Le « digicode » de la porte d'entrée d'un immeuble propose un clavier à 12 touches ; elles sont marquées de 10 chiffres de 0 à 9, et des lettres V et W.
Un code est formé d'une lettre suivie d'un nombre à chiffres (comme par exemple ).
Quelle est la probabilité pour qu'en composant un code au
, on obtienne le code secret ?
Quelle est la probabilité pour que le code secret se termine par 0 ?
Un individu indiscret a pu déterminer que le code commence par la lettre V et s'achève par un 8. Quelle est la probabilité, grâce à ces renseignements, qu'il trouve le bon code du premier coup en composant au hasard les numéros qu'il ne connaît pas ?
Cas de l'équiprobabilité 5
On a disposé dans une urne boules indiscernables numérotées de 1 à .
On choisit au
une boule dans cette urne.
On considère les événements :
A : le numéro de la boule tirée est inférieur ou égal à .
B : le numéro de la boule tirée est supérieur ou égal à n, où n est un entier compris entre 1 et .
Déterminer la valeur de l'entier n, sachant que
= .
n=
Variable aléatoire et indicateurs 1
On considère l'univers
où les
sont des réels différents. On munit l'univers
de la loi de probabilité décrite par le tableau suivant :
On appelle
son espérance. On considère la variable aléatoire S qui à l'éventualité
associe le réel
, dont la loi de probabilité est :
et la variable aléatoire T qui à l'éventualité
associe le réel
, dont la loi de probabilité est :
Calculer l'espérance des variables
et
, en fonction des réels
,
et
.
Variable aléatoire et indicateurs 2
On lance au plus trois fois une pièce bien équilibrée ; la partie s'arrête dès que l'on a obtenu "Pile". Les issues possibles de cette expérience peuvent s'écrire :
P
FP
FFP
FFF
Ces quatres issues sont-elles équiprobables ?
Calculer les probabilités des événements suivants :
A: "Obtenir pile au premier lancer"
B: "Obtenir pile au second lancer"
C: "Obtenir pile au troisième lancer"
D: "Ne pas obtenir pile"
Soit
la variable aléatoire qui à l'événement A associe n points (n entier), à l'événement B points, à l'événement C 1 point et à l'événement D points.
Calculer à partir de quelle valeur de
le jeu est favorable au joueur.
à partir de
=
Variable aléatoire et indicateurs 3
Le jeu consiste à s'engager dans un dédale et à le parcourir avec la règle suivante : on ne peut aller que vers le nord ou vers l'est, et à chaque carrefour, on choisit la direction en lançant une pièce : pile on va vers le Nord, face on va vers l'Est. A chacune des 6 sorties possibles est associé un résultat : on peut gagner 100 euros, 200 euros ou perdre 300 euros.
Déterminer le nombre d'itinéraires possibles :
Un trajet comporte au minimum 3 étapes et au maximum 5 étapes. Déterminer la probabilité d'un trajet en fonction de son nombre d'étapes :
Trajet comportant
3 étapes
4 étapes
5 étapes
Probabilité
Puis déterminer le nombre d'itinéraires possibles pour chacune des 6 sorties.
Sortie
Nb chemins
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque parcours, associe le gain (positif ou négatif) final.
Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et son écart type.
x
-300
+100
+200
P(X=x)
E(X)=
=
arrondi au centième
Quel est l'événement le plus probable, gagner ou perdre ?
Variable aléatoire et indicateurs 4
Un joueur joue au jeu de pile ou face avec la règle suivante : Si Face sort, il perd sa mise, si Pile sort, il gagne le double de sa mise. Sa mise initiale est de 1 euro et il dispose au départ d'un capital de euros. La partie s'arrête dès qu'il gagne ou qu'il ne peut plus miser.
Voici deux stratégies :
Stratégie 1 : il double sa mise s'il perd. Quel est le nombre maximal de parties qu'il peut jouer ?
Quelle est la probabilité de gagner la partie ?
Soit X la variable aléatoire qui comptabilise le gain (ou la perte) réalisé(e). Déterminer la loi de X et calculer son espérance mathématique et son écart type.
E(X)=
Stratégie 2 : il triple sa mise s'il perd. Quel est le nombre maximal de parties qu'il peut jouer ?
Quelle est la probabilité de gagner la partie?
Soit Y la variable aléatoire qui comptabilise le gain (ou la perte) réalisé(e). Déterminer la loi de Y et calculer son espérance mathématique et son écart type.
E(Y)=
Comparaison des deux stratégies. Avec quelle stratégie a-t-on le plus de chance de gagner ?
Avec quelle stratégie peut-on espérer le plus gagner ?
Avec quelle stratégie peut-on réaliser le gain le plus important ?
Quelle stratégie est la plus risquée ?
Variable aléatoire et indicateurs 5
Au casino « Royal des mathématiques » on peut jouer aux machines à sous. Parmi toutes celles qui existent, voici celle qui emporte le plus grand succès, Le Jackpot des Grands Mathématiciens : Quatre rouleaux tournent indépendamment les uns des autres et portraits de grands probabilistes (parmi d'autres) peuvent sortir (pour chacun des rouleaux) : .
Exemple d'une partie (après avoir mis une pièce d'1 euro et actionné la manivelle)
On joue une partie à 1 euro. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
A "Obtenir quatre portrait identiques" : P(A) =
B "Obtenir exactement 3 portraits identiques" : P(B) =
C "Obtenir quatre portraits distincts" : P(C) =
Les gains sont :
50 euros pour l'événement A,
5 euros pour l'événement B
et 1 euro pour l'événement C.
Dans les autres cas, on ne gagne rien.
Soit G la variable aléatoire associée au gain.
Déterminer la loi de probabilité de G, puis calculer son espérance mathématique et son écart type.
g
-1
0
4
49
P(G=g)
E(G)=
=
arrondi au centième. Le jeu est-il rentable pour le casino ?
Variable aléatoire et indicateurs 6
On déplace au hasard un pion sur le quadrillage ci-contre de A jusqu'à B à l’aide de déplacements d'une unité vers la droite ou vers le bas.
Combien y a-t-il de trajets possibles?
On suppose par la suite que les trajets sont équiprobables.
Le passage du pion par I rapporte points, par J rapporte points et par K rapporte points.
On appelle S la variable qui associe à chaque trajet le nombre de points qu'il rapporte.
Déterminer la loi de probabilité de S et calculer E(S).
s
P(S=s)
E(S)=
Déterminer le nombre de point à attribuer au passage en L pour avoir E(S)=
nombre de points pour L=
Union et intersection d'événements 1
Dans une classe de 1ère S de élèves, il y a filles et des élèves qui apprennent l'espagnol sont des garçons.
On a complété le tableau à double entrée en nombres d'élèves.
Filles
Garçons
Total
apprenant l'espagnol
n'apprenant pas l'espagnol
Total
On tire au
un élève de cette classe.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
A "c'est un garçon" : P(A) =
B "c'est une fille n'apprenant pas l'espagnol" : P(B) =
C "c'est un garçon apprenant l'espagnol" : P(C) =
D "c'est un élève n'apprenant pas l'espagnol" : P(D) =
Union et intersection d'événements 2
Soit
un univers et deux événements A et B tels que
.
Calculer :
=
=
=
=
Union et intersection d'événements 3
Soit
un univers et deux événements A et B tels que
.
Calculer :
=
=
=
=
Union et intersection d'événements 4
La loi de probabilité ci-dessous décrit le lancer d'un dé truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1
2
3
4
5
6
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A "Le résultat est pair" : P(A) =
B "Le résultat est au plus égal à 3" : P(B) =
C "le résultat est un nombre premier" : P(C) =
D =
E =
F =
Union et intersection d'événements 5
La loi de probabilité ci-dessous décrit le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet.
Gain en euros
0
5
10
100
500
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A "Le joueur est gagnant" : P(A) =
B "Le joueur a gagné au moins 100 euros" : P(B) =
C "Le joueur a gagné au plus 10 euros" : P(C) =
D =
L'organisateur du jeu prévoit de fixer le prix du billet à euros. Calculer l'espérance de cette loi.
Espérance =
arrondie au centième d'euro.
Le jeu sera-t-il favorable au joueur ?
Loi de probabilité 1
Traduire, en termes de probabilité, les phrases suivantes correspondant à l'événement A :
A: : P(A) =
A : : P(A) =
A : : P(A) =
Loi de probabilité 2
Dans une classe de 1ère S de élèves, il y a filles et des élèves qui apprennent l'espagnol sont des garçons.
Compléter le tableau à double entrée en nombres d'élèves.
Filles
Garçons
Total
apprenant l'espagnol
n'apprenant pas l'espagnol
Total
On tire au
un élève de cette classe. Compléter le tableau de cette loi de probabilité.
Elèves
Filles apprenant l'espagnol
Filles n'apprenant pas l'espagnol
Garçons apprenant l'espagnol
Garçons n'apprenant pas l'espagnol
Probabilité
Loi de probabilité 3
Le cycle d'allumage d'un feu tricolore est le suivant : Feu vert pendant secondes, feu orange pendant secondes, feu rouge pendant secondes.
En admettant qu'un automobiliste arrive au hasard devant l'une des trois positions possibles du feu tricolore, déterminer la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
Feu
Vert
Orange
Rouge
Total
Probabilité
Loi de probabilité 4
Une roue de loterie est formée de six secteurs A, B, C, D, E, F associés aux mesures d'angles suivantes en degrés :
Secteur
A
B
C
D
E
F
Angle en degré
Lorsque la roue achève sa rotation, un secteur se trouve face au repère avec une probabilité proportionnelle à l'angle associé.
Déterminer la loi de probabilité obtenue.
Secteur
A
B
C
D
E
F
Total
Probabilité
Loi de probabilité 5
On lance deux dés tétraèdriques numérotés de à , puis on calcule la somme des numéros obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.
Issue
Total
Probabilité
Calculer les indicateurs suivants:
Espérance mathématique :
Variance :
Ecart-type :
arrondi au centième
Univers et équiprobabilité 1
Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?
Univers et équiprobabilité 2
Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?
Univers et équiprobabilité 3
Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?
Univers et équiprobabilité 4
On compose au hasard (de manière équiprobable) un nombre de chiffres avec uniquement des et des .
Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
qui donne le nombre de fois où le chiffre apparaît.
contient-il d'éléments ?
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?
Univers et équiprobabilité 5
Deux urnes indiscernables contiennent chacune boules numérotées de 1 à . On tire au hasard (de manière équiprobable), simultanément, une boule dans chaque urne.
Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
l'ensemble de tous les couples formés avec
. Combien l'univers
contient-il d'éléments ?
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?
Variable aléatoire, loi de probabilité 1
On considère une cible comportant 3 cercles concentriques de rayon cm, cm et cm.
On considère que toutes les flèches lancées atteignent la cible, et que la probabilité d'atteindre une zone de la cible est proportionnelle à l'aire de cette zone. Déterminer la probabilité de lancer la flèche à l'intérieur du cercle de rayon cm (zone 1), entre les cercles de rayon cm et cm (zone 2), entre les cercles de rayon cm et cm (zone 3).
probabilité de lancer la flèche dans la zone 1 :
probabilité de lancer la flèche dans la zone 2 :
probabilité de lancer la flèche dans la zone 3 :
On considère la variable aléatoire G associée au gain de ce jeu, pour lequel le gain est de 10 euros lorsqu'on atteint la zone 1, de 3 euros lorsqu'on atteint la zone 2 et de 1 euro lorsqu'on atteint la zone 3.
Déterminer la loi de probabilité de G.
g
1 euro
3 euros
10 euros
P(G=g)
Variable aléatoire, loi de probabilité 2
Un test est composé de questions auxquelles on doit répondre par Vrai ou Faux.
On coche au hasard les réponses aux questions posées.
Le barème est le suivant :
4 points par réponse exacte.
-2 points pour une réponse inexacte.
La note finale est le plus grand des deux nombres entre 0 et la somme des points obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire N, définie par la note d'un candidat ayant répondu au hasard.
n
P(N=n)
Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de N.
Espérance =
sous forme de fraction
Variance =
sous forme de fraction
Ecart type =
arrondi au centième
Variable aléatoire, loi de probabilité 3
Dans une petite ville, médecins sont de garde le week-end et malades appellent au hasard l'un d'entre eux.
On appelle T la variable aléatoire qui, à chaque configuration d'appels, associe le nombre de médecins appelés.
Déterminer la loi de probabilité de T.
t
P(T=t)
Quelle est la probabilité qu'au moins des médecins soient appelés ?
Variable aléatoire, loi de probabilité 4
Dans un pays imaginaire, une loi décide que chaque famille s'arrête de procréer dès qu'elle a eu un garçon (G) et qu'elle continue sinon, en s'arrêtant de toute façon au enfant.
On note X le nombre d'enfants par famille, on code par G et F la naissance d'un garçon et d'une fille.
On suppose que la loi de X est équirépartie sur l'ensemble des issues
. Calculer E(X).
E(X)=
On suppose maintenant qu'il y a à chaque naissance autant de chance d'avoir un garçon qu'une fille. En considérant l'ensemble
des issues possibles, déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.
x
P(X=x)
E(X)=
Variable aléatoire, loi de probabilité 5
On place dans une urne boules numérotées de 1 à . On tire au hasard, successivement et sans remise les boules de cette urne.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de boules pour lesquelles le numéro coïncide avec le numléro de tirage. Exemple: tirer la boule no1 au 1er tirage; la boule no3 au 3ème tirage.
Déterminer la loi de X et son espérance mathématique.
x
P(X=x)
E(X)=
Vocabulaire univers et événement 1
On choisit au hasard (de manière équiprobable) un nombre entier entre 1 et .
Quel est l'univers ?
=
Décrire de façon ensembliste les événements suivants :taper "vide" s'il n'y a pas d'élément ; s'il y a plusieurs éléments, les séparer par une virgule.
A "le nombre tiré est un multiple de 2" :
B "le nombre tiré est un multiple de 4" :
C "le nombre tiré est un multiple de 5" :
D "le nombre tiré est un multiple de 2 mais pas de 4" :
E "le nombre tiré est un multiple de 4 mais pas de 2" :
F "le nombre tiré est un multiple de 2 et de 5" :
G "le nombre tiré est un multiple de 2 et de 4" :
H "le nombre tiré est 15" :
Quels sont les événements élémentaires (c'est-à-dire qui ne comportent qu'une issue) parmi les événements A à H ?
Vocabulaire univers et événement 2
On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à . On note le résultat du lancer réalisé sous la forme d'un nombre formé par les deux numéros obtenus, rangés dans l'ordre croissant.
Décrire les événements suivants :
A "les deux nombres sont identiques" :
B "les deux nombres sont consécutifs" :
C "les deux nombres sont distincts et de même parité" :
D "les deux nombres sont premiers et distincts" :
E "la somme obtenue est un nombre premier" :
Vocabulaire univers et événement 3
On choisit au hasard (de manière équiprobable) un nombre entier entre 1 et .
On considère les événements suivants :
A "le nombre tiré est un multiple de 2"
B "le nombre tiré est un multiple de 4"
C "le nombre tiré est un multiple de 5"
D "le nombre tiré est un multiple de 2 mais pas de 2"
E "le nombre tiré est un multiple de 4 mais pas de 2"
F "le nombre tiré est un multiple de 2 et de 5"
G "le nombre tiré est un multiple de 2 et de 4"
H "le nombre tiré est 15"
Décrire de façon ensembliste les événements suivants :
Vocabulaire univers et événement 4
Une corbeille contient des pommes rouges, des pommes jaunes, des poires jaunes et des oranges. On prend un fruit au hasard (de manière équiprobable).
Décrire par une phrase (sans utiliser de négation) l'événement contraire des événements suivants :
Prendre une pomme :
Prendre un fruit jaune :
Prendre une orange :
Ne prendre ni pomme ni poire :
Prendre une orange ou une poire :
Vocabulaire univers et événement 5
On lance deux dés cubiques équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On considère les événements suivants :
A "obtenir exactement un 1".
B "obtenir au moins un 1".
C "obtenir au plus un 1".
D "obtenir des nombres pairs".
E "obtenir une somme supérieure strictement à 10".
F "obtenir une somme inférieure ou égale à 10".
G "obtenir une somme égale à 7".
Les événements A et B sont-ils contraires ?
- Incompatibles ?
Les événements C et B sont-ils contraires ?
- Incompatibles ?
Les événements A et D sont-ils contraires ?
- Incompatibles ?
Les événements E et F sont-ils contraires ?
- Incompatibles ?
Les événements E et G sont-ils contraires ?
- Incompatibles ?
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